Ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne – zadania

Wzory skróconego mnożenia związane z drugimi potęgami

• Kwadrat sumy
  \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2 (a + b)2  =  a2 + 2ab + b2
• Kwadrat różnicy
  \left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2 (a − b)2  =  a2 − 2ab + b2
• Różnica kwadratów
  \mleft(a+b\mright)\mleft(a-b\mright)=a^2-b^2 (a + b)(a − b)  =  a2 − b2
  
  

Rozwiązania równania kwadratowegoax^2+bx+c=0 ax2 + bx + c  =  0 to:
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}, x1  =  −b − √Δ2a, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}, x2  =  −b + √Δ2a, gdy\Delta \gt 0, Δ  >  0,
x_0=\frac{-b}{2a}, x0  =  −b2a, gdy\Delta =0, Δ  =  0,

gdzie\Delta =b^2-4ac. Δ  =  b2 − 4ac.

Równanie kwadratowe nie ma rozwiązań, gdy\Delta \lt 0. Δ  <  0.

Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym kolejne wyrazy (z wyjątkiem pierwszego) tworzymy przez dodanie do poprzedniego wyrazu liczby\textcolor{#E94D00}{r}, r, nazywanej różnicą ciągu.

Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym kolejne wyrazy (oprócz pierwszego) tworzymy przez pomnożenie poprzedniego przez liczbę\textcolor{#E94D00}{q}, q, nazywaną ilorazem ciągu.

• Jeśli liczbya,\textcolor{#E94D00}{b},c a, b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich:
  \textcolor{#E94D00}{b}=\frac{a+c}{2} b  =  a + c2

• Jeśli liczbya,\textcolor{#E94D00}{b},c a, b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich, to środkowy wyraz jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich:
  \textcolor{#E94D00}{b}=\sqrt{a\cdot c} b  =  √a ⋅ c
• Trzy liczbya,\textcolor{#E94D00}{b},c a, b, c w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy:
  \textcolor{#E94D00}{b^2}=a\cdot c b2  =  a ⋅ c